ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Τελευταία Ενημέρωση στις Παρασκευή 23 Μαρτίου 2012 08:05 |

| Εμφανίσεις: 806

Αξιολόγηση Χρήστη:

/ 2

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με την χρήση της διακρίνουσας και γραφικών παραστάσεων.

deuterovathmialogo

Λυμένα Παραδείγματα

$[1]\hspace{1 mm}3x^{2}+2x-1=0,\hspace{1 mm}[2]\hspace{1 mm}x^{2}+2x+1=0,\hspace{4 mm}[3]\hspace{1 mm}3x^{2}+2x+1=0$

ΘΕΩΡΙΑ

Η γενική μορφή μίας εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι

$\alphax^{2}+\betax+\gamma=0$ με $\alpha\neq0$

Η επίλυση των εξισώσεων δευτέρου βαθμού γίνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

$x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}$

όπου το περιεχόμενο της ρίζας $\beta^{2}-4\alpha\gamma$ ονομάζεται διακρίνουσα $\Delta.$

Δηλαδή έχουμε:

$\Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma$

Η τιμή της διακρίνουσας $\Delta$ καθορίζει τον αριθμό και τον τύπο των ριζών των δευτεροβάθμιων εξισώσεων.Διακρίνουμε τρείς περιπτώσεις.

1. $\Delta>0$

Σε αυτή την περίπτωση η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες $x_{1}$ και $x_{2}$ όπου $x_{1}\neq x_{2}.$

Οι ρίζες δίνονται από τον τύπο

$x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}$

2. $\Delta=0$

Σε αυτή την περίπτωση η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ίδιες μεταξύ τους ρίζες (ή μία μόνο ρίζα) $x_{1}$ και $x_{2}$ όπου $x_{1}= x_{2}.$

Επειδή $\Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma=0$ οι ρίζες θα δίνονται από τον τύπο

$x_{1=2}=\frac{-\beta}{2\alpha}$

3. $\Delta<0$

Σε αυτή την περίπτωση η δευτεροβάθμια εξίσωση δέν έχει πραγματικές ρίζες (έχει μιγαδικές ρίζες αλλά είναι εκτός του σκοπού αυτού του άρθρου).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΆΣΚΗΣΗ 1

Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση $3x^{2}+2x-1=0$

ΛΥΣΗ

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

$\Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma=2^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16>0$

Επομένως η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο διαφορετικές μεταξύ τους ρίζες οι οποίες είναι:

$x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^{2}-4\alpha\gamma}}{2\alpha}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}=\frac{-2\pm4}{6}$

Επομένως οι δύο ρίζες είναι:

$x_{1}=\frac{-2-4}{6}=\frac{-6}{6}=-1$

και

$x_{2}=\frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

'Ενας άλλος τρόπος επίλυσης της εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι να θεωρήσουμε την συνάρτηση $y=3x^{2}+2x-1$ και να δούμε σε ποιά σημεία η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα τον Χ-Χ'. Δηλαδή να βρούμε για ποιά χ η συνάρτηση είναι μηδέν $y=0$ άρα και $y=3x^{2}+2x-1=0.$

Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Βλέπουμε ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα Χ'-Χ στα σημεία -1 και 1/3 που είναι και οι ρίζες που βρήκαμε προηγουμένος.

ΆΣΚΗΣΗ 2

Λύστε την δευτεροβάθμια εξίσωση $x^{2}+2x+1=0$

ΛΥΣΗ

Υπολογίζουμε την διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

$\Delta=\beta^{2}-4\alpha\gamma=2^{2}-4\cdot1\cdot1=4-4=0$

Επομένως η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ίδιες μεταξύ τους ρίζες οι οποίες είναι:

$x_{1=2}=\frac{-\beta}{2\alpha}=\frac{-2}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1$

Μπορούμε να βρούμε επίσης και γραφικά τις ρίζες της δευροβάθμιας εξίσωσης σχεδιάζοντας την γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=x^{2}+2x+1$ η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.